Simulation Study on Fluid-elastic Instability of Two-Dimensional Tube Bundle Based on UDF
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摘要: 针对现有流弹失稳模拟研究中的流固耦合模型存在计算精度较低、计算成本巨大的问题，建立了一种可以预测管束临界流速的二维单向流固耦合模型，该模型基于商用ANSYS Fluent软件，通过SST k-ω湍流模型进行流场计算，再由自编译的用户自定义函数（UDF）提取管子所受的流体力，并利用4阶Runge-Kutta法求解结构动力学方程实现单向流固耦合计算。利用该模型对节径比为1.5的转角三角形排布管束进行了流固耦合计算，得到了中心管的临界流速、振幅时程曲线及振幅频谱图，并通过水洞实验进行了验证。结果表明，本模型以较低的计算成本准确地预测了临界流速，同时也获取了管子真实的振动特征，模拟计算的中心管振幅时程曲线及振幅频谱均与实验相近。此外，模拟计算获取的阻力和升力系数数据表明，随着流速增大，阻力和升力系数时程曲线经历了从紊乱到规律的变化，换算流速达到2.44时，阻力和升力系数主频包含管子在静水中固有频率的成分。Abstract: In view of the low calculation accuracy and huge calculation cost of the existing fluid-solid coupling model in the simulation study of fluid-elastic instability, a two-dimensional unidirectional fluid-solid coupling model which can predict the critical velocity of tube bundle is established. This model is based on the commercial ANSYS Fluent software, the flow field is calculated by the SST k-ω turbulence model, and then the fluid force on the tube is extracted by a self-compiled user-defined function (UDF), and the fourth-order Runge-Kutta method is used to solve the structural dynamic equation and realize the unidirectional fluid-solid coupling calculation. Using this model, the fluid-solid coupling calculation is carried out on the triangularly-arranged tube bundle with a pitch-diameter ratio of 1.5, and the critical velocity, the amplitude time-history curve and the amplitude spectrum of the central tube are obtained, which are verified by water tunnel experiments.The results show that this model can accurately predict the critical velocity with low calculation cost, and also obtain the true vibration characteristics of the tube. The amplitude time-history curve and amplitude spectrum of the central tube calculated by simulation are similar to those of the experiment.In addition, the resistance and lift coefficient data obtained by simulation calculation show that the resistance and lift coefficient time-history curves change from disorder to regularity with the increase of the velocity. When the converted velocity reaches 2.44, the main frequency of the resistance and lift coefficient includes the component of the natural frequency of the tube in still water.
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Key words:
- Fluid-elastic instability /
- Tube bundle /
- Fluid-solid coupling /
- Critical velocity
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0. 引 言
换热器管束在长期流致振动影响下容易发生破损失效，尤其在核电厂蒸汽发生器中，设备大型化、换热管材料高合金化，使得流致振动的影响愈发关键。目前，公认的流致振动机理有4种[1]：湍流抖振、漩涡脱落、流弹失稳（流体弹性不稳定性）和声共振，其中流弹失稳破坏性最强，一旦发生流弹失稳管子振幅急剧增大，短时间内就能造成换热管的破损。对此国内外学者进行了大量实验、理论和数值计算研究，也提出了相应的设计标准，如GB151、TEMA、ASME等[2]。然而2013年，美国San onofre核电厂蒸汽发生器管束仍因顺流方向流弹失稳引发了严重的核泄漏事故[3]。因此，对于管束顺流方向流弹失稳的机理和预防仍不十分清楚，值得进一步研究和分析。
管束的流弹失稳涉及固体域和流体域之间的耦合作用，单纯通过流场计算或者结构动力学计算不能真实捕捉流弹失稳现象，因此，建立合适的流固耦合模型十分必要。早在2003年，Longattte[4]等人首次通过任意拉格朗日欧拉法将流场计算与结构动力学耦合并研究管束的流致振动现象，其计算结果仅在管子的振动响应频率上与实验对照良好。流固耦合计算应用于管束的流弹失稳研究展现出了可能性，近年来Wang Pengfei[5]、Zhao Wensheng[6]、陈小阁[7]等人针对管束横向流诱发振动建立了各自的三维流固耦合模型，为了降低计算成本，他们均对流场中管子数量进行了较大简化，计算结果与实验都存在一定差距。尽管数值计算技术发展迅速，到目前为止仍然难以实现流场和结构的完全解耦计算。
在工程实际中，建立一个低成本且能预测管束流弹失稳现象发生的流固耦合模型十分重要。Tang[8]等人建立了二维双向流固耦合模型，运用高阶算法对结构动力学方程进行求解，分析了正三角形排布管束中单根弹性管横流向的自激振动，结果表明当管子固有频率增加到流体主频时，管子振动速度会激增。吴皓[9]等人在刚体运动学方程和Newmark积分方法的基础上建立了三维流固耦合振动模型，利用该模型计算了正方形排布管束的临界流速，结果与文献中的实验数据吻合良好。刘丽艳[10]等人利用CFX流固耦合计算分析了同心圆排布管束不同位置处的临界流速和振动特性，结果表明同心圆排布管束中过渡排布最容易发生失稳。
本文在前人的研究基础上，基于商用ANSYS Fluent 软件二次开发，建立一种可预测管束临界流速的二维单向流固耦合模型。同时，通过水洞实验研究节径比为1.5的转角三角形排布刚性管阵中心管的流弹失稳现象，将模拟计算结果与实验进行对比分析，并对管束的流弹失稳特性进行分析。
1. 水洞实验
实验是在谭蔚[11]等人建立的水洞实验装置上进行，如图1所示。实验装置由一个水循环系统、管束测试装置和图像采集处理系统组成，其中图像采集处理系统包含高速摄影机、数据采集器和专业数据处理软件，数据采集器的采集频率为400 s−1，专业数据处理软件可以获取振动管束端部质心的位移数据及其频谱响应。管束排布方式为转角三角形排布，节径比为1.5，管束中心管为等刚度弹性管，其余皆为刚性管。等刚度弹性管如图2所示，是由长度100 mm、直径9 mm的细杆段和长度250 mm、直径25 mm的粗杆段组成的悬臂梁，实验时通过细杆段端部的螺纹连接将其固支在管板上。
在实验过程中，由水泵调节入口流速，待管束系统振动达到稳定后，由图像采集处理系统收集10 s内弹性管粗杆段端面的振动位移数据。
2. 流固耦合计算方法
本文提出的单向流固耦合模型是基于商用ANSYS Fluent软件二次开发实现。流场模型按照水洞实验管束布置建立，结构部分将管子简化为弹簧阻尼系统，受结构动力学方程控制。
计算时首先给定流场入口条件进行初始化，在随后的每个时间步内，求解流体控制方程，得到满足收敛要求的速度场、压力场等；通过自编译的用户自定义函数（UDF）提取中心管受到的阻力和升力数据，采用4阶Runge-Kutta法计算出中心管下一时间步内的位移和速度；然后进入下一时间步的计算，直到计算终止。
2.1 流体控制方程
本文中流体介质为水，由以下不可压缩非定常N-S方程控制：
$$ \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_i}}} = 0 $$ (1) $$ \rho \left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {u_i}{u_j}}}{{\partial {x_j}}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {\mu \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}}} \right) - \frac{{\partial p}}{{\partial {x_j}}} $$ (2) 式中，
${u_i}$ 、${u_j}$ （i=1, 2；j=2, 1）为速度分量；${x_i}$ 、${x_j}$ 为坐标分量；$\;\rho $ 为流体密度；t为时间；$p$ 为压力；$\; \mu $ 为动力粘度。采用Fluent压力求解器SST k-ω湍流模型进行求解，SST k-ω模型集合了k-ε和k-ω模型的特点，在近壁面处使用不需要复杂近壁面阻尼方程的ω方程，在远离壁面处使用ε方程。与主流的k-ε模型相比，在流体分离逆压梯度处具有更高的准确性，Hassan[12]证实了SST k-ω模型在研究管束流弹失稳中的适用性。湍动能k和耗散率ω由以下输运方程获得：
$$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho k} \right) + \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left( {\rho k{u_i}} \right) = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{{\mathit{\Gamma}} _k}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}} \right) + {k_{\text{G}}} - {k_{\text{Y}}} + {k_{\text{S}}} $$ (3) $$ \begin{aligned}[b] \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho \omega } \right) + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {\rho \omega {u_j}} \right) =& \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left( {{{\mathit{\Gamma}} _\omega }\frac{{\partial \omega }}{{\partial {x_j}}}} \right) + {\omega _{\text{G}}}- \\& {\omega _{\text{Y}}} + {\omega _{\text{D}}} + {\omega _{\text{S}}} \end{aligned} $$ (4) 式中，
$ {k_{\text{G}}} $ 和$ {\omega _{\text{G}}} $ 分别为因平均速度梯度产生的湍动能和耗散率；${{\mathit{\Gamma}} _k}$ 、${{\mathit{\Gamma}} _\omega }$ 分别为湍动能和耗散率的有效扩散系数；$ {k_{\text{Y}}} $ 、$ {\omega _{\text{Y}}} $ 分别为因为湍流消耗的湍动能和耗散率；$ {\omega _{\text{D}}} $ 为交叉扩散项；$ {k_{\text{S}}} $ 和$ {\omega _{\text{S}}} $ 为用户自定义的源项。2.2 结构动力学方程
管束发生流弹失稳时，管子运动主要表现为顺流方向和横流方向的平面运动，因此本模型将管子设置为不可变形的刚体。在弹性管的顺流方向和横流方向分别施加一个弹簧和一个阻尼，其运动由以下动力学方程控制：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m{{\ddot L}_x} + {c_x}{{\dot L}_x} + {k_x}{L_x} = {F_x}} \\ {m{{\ddot L}_y} + {c_y}{{\dot L}_y} + {k_y}{L_y} = {F_y}} \end{array}} \right. $$ (5) 式中，
$ {L_x} $ 、$ {L_y} $ 分别为顺流方向（x方向）和横流方向（y方向）的位移；$m$ 为单位长度管束质量；${c_x}$ 、${c_y}$ 分别为x方向和y方向的阻尼；${k_x}$ 、${k_y}$ 分别为x方向和y方向的弹簧刚度；${F_x}$ 、${F_y}$ 分别为中心管受到的阻力和升力。在每个时间步初，由自编译的UDF提取中心管受到的阻力和升力，采用四阶Rung-Kutta法求解中心管的位移、速度。以x方向为例，求解公式如下：
$$ \left\{ \begin{gathered} {{\dot L}_{x,n + 1}} = {{\dot L}_{x,n}} + ({K_1} + 2{K_2} + 2{K_3} + {K_4}){\text{d}}t/6 \\ {L_{x,n + 1}} = {L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{\text{d}}t + ({K_1} + {K_2} + {K_3}){\text{d}}{t^2}/6 \\ \end{gathered} \right. $$ (6) $$ \left\{ \begin{array}{l} {K_1} = {{( {{F_x} - {c_x}{{\dot L}_{x,n}} - {k_x}{L_{x,n}}} )} \mathord{/ {\vphantom {{( {{F_x} - {c_x}{{\dot L}_{x,n}} - {k_x}{L_{x,n}}} )} m}} } m} \\ {K_2} = {F_x} - {c_x}( {{{\dot L}_{x,n}} + {{{K_1}{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{K_1}{\text{d}}t} 2}} } 2}} )-\\\quad\quad{{ {k_x}( {{L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{{{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}t} 2}} } 2}} )} \mathord{/ {\vphantom {{ - {k_x}( {{L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{{{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}t} 2}} } 2}} )} m}} } m} \\ {K_3} = [ {{F_x} - {c_x}( {{{\dot L}_{x,n}} + {K_2}{{{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}t} 2}} } 2}} )}- \\\quad\quad {{ { {k_x}( {{L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{{{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}t} 2}} } 2} + {K_1}{{{\text{d}}{t^2}} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}{t^2}} 4}} } 4}} )} ]} \mathord{/ {\vphantom {{ { - {k_x}( {{L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{{{\text{d}}t} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}t} 2}} } 2} + {K_1}{{{\text{d}}{t^2}} \mathord{/ {\vphantom {{{\text{d}}{t^2}} 4}} } 4}} )} ]} m}} } m} \\ {K_4} = [ {{F_x} - {c_x}( {{{\dot L}_{x,n}} + {K_3}{\text{d}}t} )} - \\\quad\quad {{ { {k_x}( {{L_{x,n}} + {{\dot L}_{x,n}}{\rm{d}}t + {K_2}{{{\text{d}}{t^2}} /2}} )} ]} / m} \end{array} \right. $$ (7) 式中， n为时间步的序号；
$ {\text{d}}t $ 为时间步长。对于中心管，计算的初始条件为：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{x,0}} = 0} \\ {{{\dot L}_{x,0}} = 0} \end{array}} \right. $$ (8) 2.3 边界条件及结构参数
本模拟流场入口为速度入口边界，出口为压力出口边界，管束及上下边界均为无滑移壁面。求解时间步长为0.001 s，总时间步数为10000。
模拟计算中心管的结构参数与水洞实验等刚度弹性管相同，如表1所示。
表 1 中心管的结构参数Table 1. Structural Parameters of the Central Tube参数名 参数值 直径（D）/m 0.025 单位长度质量（m）/kg 1.348 阻尼（c）/（N·s·m−1） 0.40 质量阻尼参数 0.18 刚度（k）/（N·m−1） 16486.50 静水中的固有频率(${f_{{\text{n,water}}}}$)/Hz 17.61 2.4 网格划分及无关性验证
为了保证计算精度和计算速度，采用了分区操作的混合网格划分方式。网格划分如图3所示，入口区和出口区形状规则且湍流强度较低，可以尽量减少网格数量，采用了尺寸为5 mm的四边形网格；管阵区流场结构复杂且湍流强度高，采用了尺寸为0.6 mm的三角形网格，入口区与管阵区之间网格尺寸渐变过渡。最终，网格总数为46.5万，总体网格平均质量达到了0.95。为了能准确获取中心管所受的阻力和升力，参考刘建[13]的研究结果将中心管周围网格节点数设置为300。此外，在中心管壁面施加了初始厚度为0.05 mm、增长率为1.1、总层数为15的边界层网格，保证了在所有模拟计算的入口流速下，中心管壁面无量纲壁距y+的数量级为1。
网格无关性验证在保持网格总体布置一致的情况下，分别设置管阵区网格尺寸为1、0.8、0.6、0.5 mm，在入口流速
$ {U_0} = 0.3 $ m/s（发生流弹失稳前）下进行计算，得到了阻力和升力系数均方根（RMS）以及x、y方向振幅RMS随网格尺寸的变化关系，如图4所示。可以看出，网格尺寸加密到0.6 mm后，阻力和升力系数RMS及振幅RMS基本上不再受到网格尺寸的影响。综合考虑计算成本和精度，选用管阵区尺寸为0.6 mm的网格进行计算。
图 4 阻力、升力系数及振幅RMS与网格尺寸关系图Figure 4. Relationship between Resistance, Lift Coefficient, Amplitude RMS and Grid Size3. 计算结果分析
3.1 振幅-流速结果
对节径比为1.5的转角三角形排布管束在换算流速
$0.5 < {U_{\text{r}}} < 2.5$ 的范围内分别进行了模拟计算和水洞实验，得到了中心管10 s内的两方向无量纲振幅（振幅RMS /D）随换算流速的变化关系如图5所示。
图 5 中心管无量纲振幅随换算流速的变化关系图Figure 5. Relationship between Dimensionless Amplitude of Central Tube and Converted Velocity从图5中可以看出，模拟计算与水洞实验的中心管无量纲振幅随流速变化趋势相同。中心管两方向的失稳特点一致，在较低流速下，x和y方向振幅均较低，随着换算流速增大而缓慢增大。在换算流速增至
${U_{\text{r}}} = 2.2$ 后，两方向振幅均发生大幅度增长，这是明显的流体弹性失稳现象，模拟计算的临界流速${U_{{\text{cr}}}} = 2.2$ ，与此对应的水洞实验临界流速${U_{{\text{cr}}}} = 2.25$ ，误差在5%之内。因此，本文建立的流固耦合模型准确地捕捉了临界流速。模拟计算与实验结果在振幅大小上存在一定差异，这可能是因为本文模型只考虑了二维管束的平面运动，忽略了三维管束的弯曲变形。本文模拟和实验采用的管束质量阻尼参数
${\text{MDP}} = 0.18$ ，属于低质量阻尼参数范围，将临界流速结果补充在Weaver和Fitzpatrick[12]总结的转角三角形排布管束稳定性区图中，如图6中红色菱形所示。可以看出，本文预测的临界流速与公开文献结果相近，验证了实验和模拟计算的准确性。
图 6 转角三角形排布管束的稳定性区图Figure 6. Stability Zone Diagram of Corner Triangular Arrangement of Tube Bundles3.2 振幅时程曲线及频谱分析
分别绘制了在失稳前和失稳后的典型流速下模拟计算和实验的振幅时程曲线如图7所示。从这些时程曲线中可以看出，失稳前以水洞实验
$ {U_{\text{r}}} = 0.996 $ 和模拟计算$ {U_{\text{r}}} = 0.976 $ 工况为例，水洞实验x方向和y方向的振动十分紊乱，最大振幅不超过0.1 mm；与此对应的模拟计算结果两方向的振动为近似正弦振动，振幅变化范围较大，最大值不超过0.4 mm （2%D）。另外，水洞实验由于水泵等环境因素的影响振动时程曲线更加紊乱，存在着如图7中局部放大图所示的小振幅高频振动。模拟计算则有效地消除了环境因素的影响，更清晰反映管子的湍流抖振。失稳后以水洞实验$ {U_r} = 2.416 $ 和模拟计算$ {U_{\text{r}}} = 2.440 $ 工况为例，实验和模拟计算的时程曲线均具有良好的规律性，近似为正弦振动；振幅随时间的变化较小，但最大值均超过2.5 mm （10%D）。
图 7 典型流速下实验和模拟计算得到的振幅时程曲线图Figure 7. Amplitude Time-history Curves of Experiment and Simulation Calculation under Typical Velocity图8是失稳前后典型的模拟计算及实验振幅频谱图。从图中可以看出，失稳前后模拟计算和实验的中心管在x、y两方向的振动主频均为中心管在静水中的固有频率
${f_{{\text{n,water}}}}$ ；此外，模拟和实验结果都表明，失稳前振幅有较多部分分散在主峰频率以外的低频区，而失稳后振幅绝大部分都集中在主振频率处。
图 8 典型流速下实验和模拟计算得到的振幅频谱图Figure 8. Amplitude Spectrum of Experiment and Simulation Calculation under Typical Velocity模拟计算结果中的振幅频谱随换算流速变化如图9所示。随着换算流速增大，两方向振幅主频对应的幅值先是缓慢增长，达到临界流速后陡增，与无量纲振幅随换算流速的变化趋势一致。
图 9 模拟计算的振幅频谱随换算流速变化关系图Figure 9. Relationship between Simulated and Calculated Amplitude Spectrum and Converted Velocity以上结果表明本文建立的单向流固耦合模型可以较好反映管束遭受横向流时振幅随流速的变化关系，也能准确捕捉管束的振动响应特征，可以应用于工程实际的临界流速预测以及振动响应分析。
3.3 流体力数据分析
本模型利用UDF中Compute_Force_And_Moment函数，获取了每一时间步内中心管所受到的阻力和升力，根据以下公式得到了中心管的升阻力系数：
$$ {C_{\text{d}}} = {F_x}/\left( {0.5\rho {U_0}^2D} \right) $$ (9) $$ {C_{\text{l}}} = {{{F_y}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_y}} {\left( {0.5\rho {U_0}^2D} \right)}}} \right. } {\left( {0.5\rho {U_0}^2D} \right)}} $$ (10) 式中，
$ {C_{\text{d}}} $ 、$ {C_{\text{l}}} $ 分别为中心管的阻力和升力系数。图10和图11为模拟计算得到的典型换算流速下中心管的阻力和升力系数的时程曲线及频谱图。可以看出，由于瞬态计算时管束受到横流的瞬时冲击，所有计算流速下阻力系数均值为一正值，都在2.8附近；升力系数不受瞬态效应的影响，均值始终在0左右。在低流速下(
${U_{\text{r}}} = 0.976$ )，升阻力系数在时域上十分紊乱地波动，在频域上分散于0~20 Hz，不存在明显的主频。流速增大至临界流速（$ {U_{{\text{cr}}}} = 2.20 $ ）时，阻力和升力系数在时域上都呈现出了一定的规律性，在频域上具有相同的主频3.1 Hz，仍有较大部分分散于0~20 Hz之间。当流速继续增大至$ {U_{\text{r}}} = 2.44 $ 时，在时域上，升阻力系数保持与临界流速下相似的规律性；在频域上，阻力和升力系数都主要集中分布在多个成倍数的峰值频率附近，其中主频都为3.5 Hz（约为$\dfrac{1}{5}{f_{{\text{n,water}}}}$ ），并且在17.3 Hz处（约为${f_{{\text{n,water}}}}$ ）都存在较大的峰值。
图 10 在典型流速下模拟计算阻力和升力系数的时程曲线$\overline C_{\rm{d}}$ $\overline C_1 $ Figure 10. Time-history Curves of Resistance and Lift Coefficient Simulated and Calculated at Typical Velocity
图 11 在典型流速下模拟计算阻力和升力系数的频谱图Figure 11. Spectrum of Resistance and Lift Coefficient Simulated and Calculated at Typical Velocity4. 结 论
本文建立了二维管束模型，基于商用ANSYS Fluent自编译UDF提取管子受到的流体力数据，并通过四阶Runge-Kutta法求解结构动力学方程实现了单向流固耦合计算。利用该模型对转角三角形排布管阵中心管的流弹失稳进行了研究，同时在水洞装置上对同样布置管束进行了实验，对比了模拟计算和实验结果的振幅-流速关系、振幅时程曲线及频谱响应，此外还分析了模拟计算的阻力和升力系数时程曲线及频谱响应，主要结论如下：
(1) 建立的流固耦合模型较准确地获取了临界流速，模拟计算和实验的换算临界流速分别为2.20和2.25，误差在5%以内。此外，模拟计算与实验的顺流向和横流向的振动主频相近，失稳前后均处于管子在静水中的固有频率
${f_{{\text{n,water}}}} = 17.6$ Hz附近。(2) 在时程曲线中，模拟计算在低流速下更清晰地反映了管子的湍流抖振，避免了实验环境振动的影响；高流速下，模拟计算与实验的时程曲线都是近似正弦振动且振幅大小相近。
(3) 不同流速下的升力系数平均值始终在0左右，阻力系数平均值在2.8左右；升阻力系数的主频随着换算流速增大而增大，换算流速达到2.44时，升阻力系数均存在多个成倍数关系峰值频率，主频为3.5 Hz（约为
$\dfrac{1}{5}{f_{{\text{n,water}}}}$ ）。 -
图 4 阻力、升力系数及振幅RMS与网格尺寸关系图
Figure 4. Relationship between Resistance, Lift Coefficient, Amplitude RMS and Grid Size
图 5 中心管无量纲振幅随换算流速的变化关系图
Figure 5. Relationship between Dimensionless Amplitude of Central Tube and Converted Velocity
图 6 转角三角形排布管束的稳定性区图
Figure 6. Stability Zone Diagram of Corner Triangular Arrangement of Tube Bundles
图 7 典型流速下实验和模拟计算得到的振幅时程曲线图
Figure 7. Amplitude Time-history Curves of Experiment and Simulation Calculation under Typical Velocity
图 8 典型流速下实验和模拟计算得到的振幅频谱图
Figure 8. Amplitude Spectrum of Experiment and Simulation Calculation under Typical Velocity
图 9 模拟计算的振幅频谱随换算流速变化关系图
Figure 9. Relationship between Simulated and Calculated Amplitude Spectrum and Converted Velocity
图 10 在典型流速下模拟计算阻力和升力系数的时程曲线
$\overline C_{\rm{d}}$—平均阻力系数；$\overline C_1 $—平均升力系数
Figure 10. Time-history Curves of Resistance and Lift Coefficient Simulated and Calculated at Typical Velocity
图 11 在典型流速下模拟计算阻力和升力系数的频谱图
Figure 11. Spectrum of Resistance and Lift Coefficient Simulated and Calculated at Typical Velocity
表 1 中心管的结构参数
Table 1. Structural Parameters of the Central Tube
参数名 参数值 直径（D）/m 0.025 单位长度质量（m）/kg 1.348 阻尼（c）/（N·s·m−1） 0.40 质量阻尼参数 0.18 刚度（k）/（N·m−1） 16486.50 静水中的固有频率(${f_{{\text{n,water}}}}$)/Hz 17.61 
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