0.   引　言

低频振动隔离问题广泛存在于船舶^[1]、航空航天^[2]、核工业^[3]等领域，长期困扰着相关科研人员。准零刚度隔振技术一般通过正刚度与负刚度并联实现，因其优异的低频隔振性能，近年被广为关注，各型准零刚度隔振器亦不断被提出，如永磁体式^[4]、金属弹簧式^[5]、电磁铁式^[6]、圆柱滚子式^[7]准零刚度隔振器等。然而上述准零刚度隔振器在实现负刚度时不可避免地会引入非线性刚度，非线性刚度的存在使得系统的动力学特性更为复杂，在某些情况下会恶化隔振效果，因此工程应用时往往要尽可能地削弱非线性刚度。

目前为止，在准零刚度技术方面的研究重点仍为新型负刚度实现方式的摸索及非线性动力学特性的理论研究，工程应用较为缺乏，关于准零刚度隔振器非线性削弱方法的研究更是少之又少，仅刘学广等人^[8]针对电磁负刚度高线性度实现方法进行了研究，提出了一种通过改变磁齿宽度比实现高线性度负刚度的方法。但该方法仅针对磁齿式电磁负刚度机构有效，应用局限性较大，难以普及。虽然上述所提及负刚度均存在非线性刚度特性，但非线性刚度特性却存在渐硬和渐软的区别，换言之，立方非线性刚度项系数存在正负差异。因此，本文提出了一种利用渐硬和渐软非线性项相互抵消从而仅保留线性负刚度的准零刚度隔振器非线性削弱方法。综合选取三弹簧式准零刚度隔振技术与永磁体式隔振技术，构建高线性度准零刚度隔振器实施例，提出结构参数匹配方法，通过减振效果分析验证弱非线性准零刚度隔振器的优异性能及非线性削弱方法的可行性。

1.   分析方法

对现有准零刚度隔振技术中负刚度存在的非线性问题进行描述，基于三弹簧式准零刚度隔振技术与永磁体式准零刚度隔振技术构建弱非线性准零刚度隔振器实施例，完成刚度建模及分析。

1.1   问题描述

图1分别给出了3种不同样式的准零刚度隔振器，分别为：①传统三弹簧式准零刚度隔振器（TQZS-VI-H）；②传统永磁体式准零刚度隔振器（TQZS-VI-S）；③弱非线性准零刚度隔振器（EQZS-VI）。

图  1  准零刚度隔振器示意图

k_v1—垂向弹簧I刚度；k_v2—垂向弹簧II刚度；k_o—横向弹簧刚度；l—横向弹簧水平长度；l_o—横向弹簧原长；x_s—无隔振质量时系统位置；x—系统位移；d—磁铁间距；m—隔振质量

Figure  1.  Schematic Diagram of Quasi-zero-stiffness Vibration Isolator

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以图1a所示TQZS-VI-H为例，其负刚度力（f_o1）表达式为：

在小位移情况下，式（1）可近似表示为：

式中，$ \hat l = {l \mathord{\left/ {\vphantom {l {{l_{\text{o}}}}}} \right. } {{l_{\text{o}}}}} $，且范围为0~1。f_o1中非线性力与线性力随参数$ \hat l $的变化趋势如图2所示，其中，x=0.005 m, l_o=0.04 m, k_o=1000 N/m。

图  2  非线性力与线性力的变化趋势

Figure  2.  Variation Tendencies of Nonlinear and Linear Forces

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从图2可以看出，由于传统f_o1的非线性项与线性项存在较强耦合作用，虽然可以通过增大参数$ \hat l $削弱非线性项，但同时也会降低线性项，从而导致该方法难以在具体实施时得到应用。

1.2   EQZS-VI实施例介绍

针对传统准零刚度隔振器中负刚度的非线性项难以削弱的问题，本研究分别选取三弹簧式结构和永磁体式结构作为渐硬和渐软负刚度实现方式，设计了一种EQZS-VI，其结构示意图如图1c所示。

隔振质量通过4条路径与基础相连接：①框架和垂向弹簧I；②框架、中永磁体、垂向弹簧II、上下永磁体和中轴；③框架、横向弹簧、上下永磁体和中轴；④框架、中永磁体、上下永磁体和中轴。需要指出的是，中永磁体可沿中轴自由移动，上下永磁体与中轴固定连接。

1.3   建模及参数分析

针对图1c所示的EQZS-VI，其刚度力共包含4部分：

（1）垂向弹簧I和垂向弹簧II所提供的刚度合力（f_v）为：

（2）横向弹簧所提供的刚度力（f_o）为：

（3）永磁体之间存在的刚度力（f_m）为：

式中，C_m为磁场常数，与永磁体间距和磁场强度相关。

（4）EQZS-VI的总刚度力（f）可结合式（3）~式（5）得到：

设置垂向弹簧I和垂向弹簧II刚度均为k_v，式（6）可简化为：

将式（7）作无量纲化处理，可得：

其中，

对式（8）作求导处理，可得无量纲化刚度（$ \hat k $）为：

对式（8）和式（9）作泰勒展开处理，可得：

从式（10）~式（13）可知，系统的力特性和刚度特性主要取决于4个模型参数：$ \lambda $、$ \mu $、$ \delta $和$ \hat l $。当$ \lambda = 0 $时，系统为传统TQZS-VI-H；当$ \mu = 0 $时，系统为TQZS-VI-S。

当α取值为零时，此时系统可实现准零刚度特性，此时：

不同$ \hat l $下隔振系统刚度特性的变化曲线如图3所示，其中：$ \mu $=1、$ \lambda $=0、$ \delta $=1。可以看出，当$ \hat l $逐渐增大时，系统线性刚度由负变为正，且当$ \hat l $满足式（14）时系统线性刚度为零，此时系统表现与TQZS-VI-H一致。该种情况下，式（11）中α与β均为正值，非线性刚度的存在会加强线性刚度，此时系统表现为渐硬特性。从图3亦可以看出，对于该种准零刚度系统必须在低动态刚度与弱非线性之间进行取舍，应用受限。

图  3  不同$ \hat l $下隔振系统的刚度特性的变化曲线

Figure  3.  Variation Curve of Stiffness Characteristics of Vibration Isolation System under Different Parameter $ \hat l $

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需要说明的是，由于探讨TQZS-VI-H和TQZS-VI-S的动力学特性并非本研究重点，故$ \mu $=0情况不在此讨论，仅给出最终结论：永磁式准零刚度隔振系统负刚度的非线性刚度会弱化线性刚度，系统表现为渐软特性。

从前述分析可以看出，三弹簧式与永磁体式准零刚度隔振系统均存在较为明显的非线性刚度，但两者的非线性对于线性刚度存在不同的影响，分别表现出渐硬与渐软特性。因此，本研究将2种负刚度实现方式融合为一体进行设计，通过合理地调整系统参数，使得式（13）中参数β为零，系统非线性刚度为零，此时系统各参数满足下述关系：

不同δ下隔振系统刚度特性的变化曲线如图4所示，其中μ=1、λ=0.5、$ \hat l $=2/3。可以看出，由于α=0，此时系统在静平衡位置附近仅保留非线性刚度特性，且其大小随δ变化，当δ满足式（15）时，系统非线性刚度为零。

图  4  不同参数δ下隔振系统的刚度特性变化曲线

Figure  4.  Variation Curve of Stiffness Characteristics of Vibration Isolation System under Different Parameter δ

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为了更好地描述式（11）中非线性刚度与线性刚度的相对大小，定义非线性强度如下：

不同隔振系统下|R_nl|值随无量纲位移的变化曲线如图5所示，系统各参数取值如表1所示。需要说明的是，为使对比结果更具备说服力，在进行相关参数确定时其参数设置与文献[4]一致。综合对比3种准零刚度隔振系统，可以看出本研究所提出EQZS-VI非线性强度远低于TQZS-VI-H和TQZS-VI-S，因此本研究所提出的EQZS-VI非线性削弱方法有效。

表  1  系统参数取值

Table  1.  System Parameter Value

隔振器类型	参数
	μ	λ	δ	$ \hat l $	α	β
TQZS-VI-H	1	0	—	0.58	0.28	1.70
TQZS-VI-S	0	0.72	1.96	0.70	0.28	−1.44
EQZS-VI	1	0.33	2.50	0.70	0.28	0
“—”表示不涉及该参数

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图  5  不同隔振系统下|R_nl|值随无量纲位移的变化曲线

Figure  5.  Variation Curve of |R_nl| Value with Dimensionless Displacement under Different Vibration Isolation Systems

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2.   动力学模型

为了更好地说明EQZS-VI的研究意义，从动力学的角度对其进行研究。对于图1c所示EQZS-VI，其在简谐激励力下的动力学方程为：

式中，${F_{\text{e}}}\cos \left( {{\omega _{\text{f}}}t} \right)$为简谐激励力；c为线性阻尼系数；f为式（10）的量纲形式；ω_f为激励频率。

对式（17）作无量纲化处理，可得：

式中，$\hat x = {x \mathord{\left/ {\vphantom {x {{x_{\text{e}}}}}} \right. } {{x_{\text{e}}}}}$、$\zeta = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {2m{\omega _n}}}} \right. } {2m{\omega _n}}}$、${\omega _n} = \sqrt {{{4{k_{\text{v}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{k_{\text{v}}}} m}} \right. } m}} $、$\omega = {{{\omega _{\text{f}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega _{\text{f}}}} {{\omega _n}}}} \right. } {{\omega _n}}}$、$\tau = {\omega _n}t$，α和β分别如式（12）和式（13）所示。

基于多尺度法^[9-10]对式（19）进行求解，可得幅频响应方程如下：

式中，$\hat X $为无量纲位移响应幅值，进而可得：

假定传递至基础的力为${\hat F_{\text{t}}}\cos \left( {{\omega _{\text{f}}}\tau + {\varphi _{\text{t}}}} \right)$，可得力传递率表达式为：

采用数值方法验证式（21）和式（22）解析表达式的正确性，对比结果见图6，可以看出两者一致性良好，解析结果准确。

图  6  解析解与数值解的对比

Figure  6.  Comparison between Analytical Solution and Numerical Solution

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3.   隔振效果分析

3.1   不同激励幅值下系统的动力学特性

不同激励幅值下系统的动力学特性如图7所示，其中ζ=0.01。当系统激励幅值较小（${\hat F_{\text{e}}}$=0.005）时，此时TQZS-VI-H、TQZS-VI-S和EQZS-VI的力传递率曲线近似一致，三者均优于等效线性非准零刚度隔振系统（Linear-VI）。随着激励幅值的增大，此时TQZS-VI-S难以保持动力学稳定，在此不做赘述；TQZS-VI-H力传递率曲线向高频方向倾斜，系统隔振效果逐步恶化，甚至在大激励幅值情况下其隔振效果弱于Linear-VI；本研究所提出EQZS-VI，其力传递率曲线不随激励幅值而改变，系统隔振效果最优，同时也间接说明了EQZS-VI的研究与应用价值。

图  7  不同激励幅值下隔振系统的动力学特性

Figure  7.  Dynamic Characteristics of Vibration Isolation System under Different Excitation Amplitudes

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3.2   参数失调对隔振效果的影响

从前述分析可知，当EQZS-VI各参数在满足式（15）时，系统隔振效果优于TQZS-VI-H 、TQZS-VI-S和Linear-VI。然而，在实际情况下，系统往往存在参数失调的情况，故需对参数失调情况下系统隔振效果的变化进行分析。

各参数对于系统非线性刚度系数的影响如图8所示，其中红色区域表示非线性系数为负值；蓝色区域表示非线性系数为正值；红蓝交界表示非线性系数为零，此时系统各参数满足式（15）。从图8a和图8b可以看出，与参数δ相比，参数$ \hat l $和参数μ对于非线性系数有着更为明显的影响，故此本文重点对参数$ \hat l $和参数μ进行分析，如图8c所示，参数δ在分析时均设为2.5。在参数μ保持不变的情况下，若参数$ \hat l $较小，系统非线性刚度系数均为正值；随着参数μ不断增大，系统非线性刚度系数由正转负；当参数$ \hat l $=0.7、参数μ=1时，系统调谐，非线性系数为零。可以看出，当系统参数失调时，系统表现为渐硬或渐软特性，与TQZS-VI-H和TQZS-VI-S表现一致。

图  8  系统参数对于非线性刚度系数的影响

Figure  8.  Effects of System Parameters on Nonlinear Stiffness Coefficient

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参数$ \hat l $和参数μ对于EQZS-VI力传递率的影响如图9所示。

图  9  系统参数对于EQZS-VI力传递率的影响

Figure  9.  Effect of System Parameters on Force Transmissibility of EQZS-VI

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对比图7和图9可以看出，失调情况下系统的动力学特性与TQZS-VI-S和TQZS-VI-H这两种传统准零刚度隔振系统相近，间接说明了即便系统参数失调，利用本研究非线性弱化方法所设计的EQZS-VI性能至少可保持TQZS-VI-S和TQZS-VI-H性能。此外，对比图9a和图9b可以看出，参数$ \hat l $较参数μ对于系统动力学特性有着更为明显的影响，在实际应用时应当着重注意。

4.   结　论

本研究提出了一种准零刚度隔振器非线性削弱方法，利用渐硬非线性特性与渐软非线性特性相互抵消以实现弱非线性，给出EQZS-VI实施例，建立了刚度模型及动力学模型，从力传递率的角度对实施例隔振效果进行了分析。结果表明：

（1）利用渐硬非线性特性与渐软非线性特性相互抵消以实现弱非线性的方法可行有效。

（2）EQZS-VI的隔振效果优于TQZS-VI-S、TQZS-VI-H及Linear-VI。

（3）参数$ \hat l $和参数μ对于系统非线性系数有着更为明显的影响，当系统参数失调时，系统动力学特性与传统准零刚度隔振系统相近。