Study on Stability of Natural Circulation of LBE in Rectangular Circuit
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摘要: 为了对矩形回路铅铋自然循环流动稳定性进行分析，得到影响自然循环流动的因素及其作用规律，采用时域法，开发一维系统程序FRTAC对铅铋自然循环进行数值计算，分析处理动态时序判定其稳定特性，获得了铅铋自然循环在相关工况条件下的稳定域与稳定性边界、铅铋自然循环回路的流动稳定性特性，以及影响因素与规律。研究表明，增大回路加热段长度会使系统的稳定性增强，而增大流道直径以及冷热段心位差均会使系统稳定性裕量降低，稳定性减弱。
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关键词:
- 铅铋自然循环 /
- 稳定性 /
- 时域法 /
- 快堆瞬态分析程序（FRTAC）
Abstract: In order to analyze the stability of the natural circulation flow of lead-bismuth eutectic (LBE) in the rectangular circuit, and to obtain the factors affecting the natural circulation flow and the law of action, a one-dimensional system program FRTAC is developed by time-domain method to numerically calculate the lead-bismuth natural circulation, and its stability characteristics were determined by analyzing and processing the dynamic time series. The stability domain and stability boundary of the lead-bismuth natural circulation under the relevant operating conditions, the flow stability characteristics of the lead-bismuth natural circulation loop, as well as the influencing factors and laws are obtained. The results show that increasing the length of the heating section of the loop will increase the stability of the system, while increasing the loop diameter and the height difference between the hot and cold cores will decrease the stability margin and weaken the stability of the system. -
0. 引 言
铅冷快堆（LFR）是第四代技术路线图中选定的6种反应堆之一。液态铅铋合金（LBE）作为冷却剂具有非常良好的中子学特性，热工水力特性和化学惰性[1]。LBE的热膨胀系数较大，粘性较低，因此在以LBE做冷却剂的反应堆或其他循环系统中能产生较大自然循环能力，可以考虑反应堆采用一回路全自然循环，能够有效提高反应堆的工程可行性和固有安全性[2]。对铅铋自然循环能力及系统特性的研究将对纯铅铋自然循环系统设计和参数预测有指导作用。
与强制循环相比，纯单相自然循环系统的运行无法用泵来控制流速，自然循环中流体浮升力和摩擦力自检的相互作用可能使流动出现震荡、逆向流动等不稳定现象。这将对自然循环系统的运行带来极大的安全隐患。
目前，国内外学者针对铅铋自然循环稳定性做了一些试验和计算相关研究。Ma等[3]在热工水力加速器驱动铅铋回路（TALL）试验设施中，对铅铋自然循环启动特性、稳定性、影响自然循环的因素和自然循环能力进行了试验研究，在实验中并未出现流动不稳定性。陆道纲等[4]采用线性稳定性分析方法对液态金属自然循环回路的稳定性进行了研究，研究中发现提高回路压降、增强冷却能够提高系统的稳定性，而加热段长度（LS）对稳定性影响不大。Wu等[5]同样对LBE自然循环进行了一维线性稳定性分析，发现高雷诺数区增加循环摩擦能够增加正循环的稳定性和反循环的不稳定性，不稳定扰动特征波长约等于回路长度。
总体而言，对铅铋自然循环时域法稳定性研究及数据仍然较少，同时通过时域法计算能够得到LBE自然循环运行过程中更多参数。本文基于自然循环回路控制方程的无量纲化，得到影响自然循环流动传输的重要无量纲参数，基于无量纲准则数，采用时域法，使用一维系统计算程序[快堆瞬态分析程序（FRTAC）]进行数值实验，通过判识流动稳定性性质与稳定性分布，获得LBE自然循环在相关工况条件下的稳定域与稳定性边界，了解LBE自然循环回路的流动稳定性特性，以及影响因素与规律。
1. 回路模型及计算程序
1.1 回路模型
自然循环稳定性分析中使用的铅铋自然循环回路（LNC）系统如图1所示。
表1给出了LNC回路主要结构参数。回路形状整体为矩形，加热段布置于右侧下部，为管外加热。冷却段水平布置于回路顶部，使用同轴圆柱形热交换器。计算中忽略管道散热，认为加热段与冷却段与外部绝热。因为使用一维系统程序对自然循环稳定性进行数值模拟，计算中忽略回路径向温度分布。
表 1 铅铋自然循环回路参数Table 1. Parameters of LBE Natural Circulation Loop参数类型 参数值 主回路工质 LBE（铅44.5%，铋55.5%） 循环类型 自然循环 主管道内径/m 42 LS/m 1.5 冷却段长度/m 1.2 冷热段中心距离/m 3.5 总循环长度/m 13.7 回路循环高度/m 5 运行压力/MPa 1.5 1.2 FRTAC
FRTAC是由中国原子能科学研究院开发、上海交通大学参与合作、采用半隐式差分格式的通用一维系统计算程序。FRTAC能够计算水、钠、液态铅铋合金等不同流体的系统一维瞬-稳态流动和传热[1]。
FRTAC中使用一维单相控制方程，其质量守恒、动量守恒和能量守恒方程为：
质量守恒方程：
$$ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} = 0 $$ (1) 动量守恒方程：
$$ \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho {u^2}} \right)}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} - \rho g\sin \theta - \frac{1}{2}\frac{f}{D}\rho {u^2} - \frac{1}{2}k\rho {u^2} $$ (2) 能量守恒方程：
$$ \frac{{\partial \left( {\rho H} \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho uH} \right)}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}\frac{f}{D}\rho {u^2} + q $$ (3) 式中，
$\rho $ 为流体密度；t为时间；u为流速；x为沿流向位移；g为重力加速度；$\theta $ 为流向与水平方向夹角；f为沿程阻力系数；D为流道直径；k为局部阻力系数；H为流体焓值；P为流体压力；q为热流量。回路中热构件温度通过导热模型[式（4）]进行计算：
$$ {\rho _{\text{s}}}{C_{p,{\text{s}}}}\frac{{\partial {T_{\text{s}}}}}{{\partial t}} - {\lambda _{\text{s}}}\frac{{{\partial ^2}{T_{\text{s}}}}}{{\partial {y^2}}} = {q_{\text{s}}} $$ (4) 式中，
${\rho _{\text{s}}}$ 为热构件密度；${C_{p{\text{,s}}}}$ 为热构件比热容；${T_{\text{s}}}$ 为热构件温度；${\lambda _{\text{s}}}$ 为热构件导热系数；y为热构件导热方向长度；${q_{\text{s}}}$ 为热构件导热量。流体与热构件间边界条件为：
$$ - {\lambda _{\text{s}}}\frac{{\partial {T_{\text{s}}}}}{{\partial y}} = h\left( {{T_{\text{s}}} - T} \right) $$ (5) 式中，h为对流换热系数；T为流体温度。
FRTAC中将上述控制方程离散求解。计算中流动阻力（
${{\Delta }}P$ ）为：$$ {{\Delta }}P = \frac{{\rho {u^2}}}{2}\left( {\frac{{fl}}{D} + k} \right) $$ (6) 式中，
$l$ 为流道长度。FRTAC使用参考文献[1, 6]中的f与局部阻力系数（k），LBE换热关系参考Cheng的关系式为[7]：
$$ Nu = A + 0.018P{e^{0.8}} $$ (7) 式中，Nu为努塞尔数；Pe为佩克莱数；A为与Pe大小相关的系数，具体表达式见文献[7]。
采用FRTAC对铅铋回路进行建模，并对网格尺寸进行无关性分析后得到离散模型，如图2所示。
图 2 FRTAC程序中主回路离散化管段1—加热段；管段2, 3—热段；管段4—冷却段；管段5, 6, 7, 9, 10—冷段；管段8—流量计扁管；管段11—阀门Figure 2. Main Loop Discretization in FRTAC2. 自然循环稳定性判别及稳定性边界
对于一个自然循环回路的流动，当系统参数在受到瞬态扰动后若能逐渐恢复到初始运行状态，此时的流动是稳定的，若流量与其他热工水力参数因此发生自发维持的周期性脉动，此时系统则发生动态不稳定现象[8-9]。
自然循环是利用温差引起的密度差进而产生的驱动力驱动冷却剂流动，当系统受到瞬态扰动，回路热工水力参数如温度、密度、流量等互相牵制影响发生变化。当系统受到微小的加热功率扰动，加热段热流密度发生变化，进而导致加热段进出口温差变化，加热段平均密度发生改变，而密度变化引起的上升段局部压降变化将延迟于入口自然循环流量改变，由于回路有较高的高度，上升段出口的压降变化将会较大延迟于加热段入口流量变化，从而导致热工水力参数发生振荡改变，这是产生流动不稳定性的原因之一。
目前不稳定性计算中，对于系统动态参数的时间序列，常使用衰减率（DR）表征系统稳定性。DR定义为振荡变量脉冲响应的2个连续峰值之比，DR<1，系统是稳定的；DR>1，系统不稳定。闭环系统传递函数征根为
$\sigma + {\rm{j}}\omega $ 时，DR的表达式为[10]：$$ {D_{{\rm{R}}}} = \exp \left( {2{\text{π }}\frac{\sigma }{\omega }} \right) $$ (8) 式中，
$\sigma $ 为指数衰减频率；$\omega $ 为振荡频率。进一步地可定义对数衰减率（LDR）来表征自然循环回路系统的稳定性[11]：
$$ {L_{{{\rm{DR}}}}} = \ln {D_{{\rm{R}}}} = \frac{{2{\text{π }}\sigma }}{\omega } $$ (9) 因此，LDR<0时，系统是稳定的；当LDR>0时，系统则是不稳定的。利用LDR表示系统的稳定性更加直观。
通过FRTAC程序计算稳态自然循环流动中引入加热功率阶跃扰动时系统的瞬态响应时序。以流道直径为0.1 m、冷热段心位差（
$ {L_{\text{H}}} $ ）为4.5 m、加热段长度（LS）为1.5 m的LBE自然循环回路系统为例，进行动态不稳定性计算判识。计算得到引入加热功率（Q）为5、52.5、60 kW的典型流量振荡结果如图3所示，分别处于衰减振荡、等幅振荡和发散振荡3类流量响应振荡状态。结合LDR判别法，得到LDR随Q的变化曲线如图4所示。通过计算发现，当Q为52.5 kW时，LDR=0，系统处于流量等幅振荡阶段，此时的振荡流量为17.77 kg/s。
由图3和图4可知，当Q<52.5 kW时，流量会逐渐减小至一个稳定值，LDR<0，系统处于稳定状态；当Q>52.5 kW时，质量流量会呈现发散趋势，LDR>0，此时系统不稳定。因此，在此系统参数下，回路从稳定流动到不稳定流动的Q阶跃临界值为52.5 kW，即边界Q为52.5 kW。
3. LBE自然循环稳定性相关无量纲准则数与稳定性平面
LBE自然循环由几何结构、热工参数，加热及冷却功率等决定，其流动稳定性和稳定性区域同样受多参数影响。因此在分析中将稳定、不稳定区域及其分界反映在一个二维平面上，理论上是无法做到的。因此本文通过不稳定性现象与机理讨论，结合自然循环流动输传热控制方程的无量纲量，得到判断LBE自然循环流动不稳定性的半经验无量纲量平面，称之为稳定性平面。
假设：①LBE自然循环为一维单相流动；②除动量方程的压力项之外流体不可压缩；③单相自然对流部分考虑波斯涅斯克假设；④不考虑回路散热；⑤忽略空间压力变化引起的能量变化。得到回路流动离散形式连续性方程为：
$$ {u_i} = \frac{{{a_0}}}{{{a_i}}}{u_0} $$ (10) 式中，
${u_i}$ 、${u_0}$ 分别为各段流速和参考流速；${a_i}$ 、${a_0}$ 分别为各段流通面积和参考面积。动量守恒方程为：
$$ \beta g{{\Delta }}T{l_{\text{H}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial t}}} {l_i} + \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{{f_i}{l_i}}}{{{D_i}}} + {k_i}} \right)u_i^2} $$ (11) 式中，
$\beta $ 为热膨胀系数；${l_{\text{H}}}$ 为加热段与冷却段中心高度差；${{\Delta }}T$ 为加热段进出口温差；n为回路离散段数；fi、li、Di和ki 分别为离散回路各段的摩擦阻力系数、长度、流道直径和局部阻力系数。能量守恒方程（加热段
$i = H$ ，冷却段$i = C$ ）：$$ {u_i}\frac{{\partial {T_i}}}{{\partial {l_i}}} = \lambda \frac{{{\partial ^2}{T_i}}}{{\partial {l_i}^2}} + 4\frac{{{h_{\text{H}}}}}{{{\rho _0}{C_p}{d_H}}}\left( {{T_i} - {T_{\text{H}}}} \right) - 4\frac{{{h_{\text{C}}}}}{{{\rho _0}{C_p}{d_{\text{C}}}}}\left( {{T_i} - {T_{\text{C}}}} \right) $$ (12) 式中，
$\lambda $ 为流体导热系数；hH、hC分别为加热段和冷却段对流换热系数；dH、dC分别为加热段和冷却段直径。将连续性方程带入动量守恒方程积分，并引入无量纲量，得到无量纲形式控制方程：
$$ U_{\text{r}}^{\text{3}} = \frac{{2Ri{L_{\text{H}}}St{\theta _{\text{H}}}{A_{\text{S}}}{L_{\text{S}}}}}{{\displaystyle \sum\nolimits_i {\left( {{{{K_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{K_i}} {{A_i}^2}}} \right. } {{A_i}^2}}} \right)} }} $$ (13) $$ \begin{gathered} Ri = {{\beta g{l_0}{{\Delta }}{T_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\beta g{l_0}{{\Delta }}{T_0}} {u_0^2}}} \right. } {u_0^2}} \\ St = {{4{l_0}h} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{l_0}h} {\left( {{u_0}{d_{\text{H}}}{\rho _0}{C_p}} \right)}}} \right. } {\left( {{u_0}{d_{\text{H}}}{\rho _0}{C_p}} \right)}} \\ {K_i} = {{{f_i}{l_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{f_i}{l_i}} {{D_i}}}} \right. } {{D_i}}} + {k_i} \\ {\text{ }}{\theta _{\text{H}}} = {{{{\Delta }}T} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\Delta }}T} {{{\Delta }}{T_0}}}} \right. } {{{\Delta }}{T_0}}} \\ {A_i} = {{{a_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{a_i}} {{a_0}}}} \right. } {{a_0}}} \\ {L_{\text{S}}} = {{{l_{\text{S}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{l_{\text{S}}}} {{l_0}{\text{ }}}}} \right. } {{l_0}{\text{ }}}} \\ {L_{\text{H}}} = {{{l_{\text{H}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{l_{\text{H}}}} {{l_0}{\text{ }}}}} \right. } {{l_0}{\text{ }}}} \\ \end{gathered} $$ 其中，Ri为理查森数；St为修改的斯坦顿数；Ki为无量纲形式的摩擦系数；
$ {\theta _{\text{H}}} $ 、$ {A_i} $ 分别为无量纲形式的壁面-流体温差、截面积；$ {{\Delta }}{T_0} $ 、${l_0}$ 分别为无量纲参考温差和参考长度。上述推导中各参考值可分别对应取加热段入口初始流速、加热段进出口初始温差、LS以及加热段流通面积。
式（13）中，对自然循环流量和各段温差起决定性作用的准则数主要有Ri、St，同时Ri、St受到LBE物性影响会发生变化，从而对自然循环有一定的影响。Ri表征自然循环回路的流动特性，而St表征回路的换热特性，Ri和St包含了绝大多数运行参数的无量纲量，也涵盖了自然循环系统流动所遵循的控制方程组，可较为全面地反映各参数对不稳定性的综合影响，同时考虑到二者的相互独立性，因此本文可选取Ri和St作为不稳定性平面的横纵坐标。
4. LBE自然循环流动稳定性计算分析
本节针对LBE应用背景中典型热力工况水平，采用时域法应用FRTAC程序进行循环流动脉冲响应的瞬态模拟计算，并基于LDR来判识LBE自然循环流动稳定性；进而借助于Ri和St稳定性平面，研究LS、流道直径以及
$ {L_{\text{H}}} $ 等几何结构因素对LBE自然循环流动稳定域分布的影响。4.1 LS的影响
使用FRTAC搜索计算得到不同LS（0.5、1、1.5、2 m）下的不稳定边界加热功率（Qc）和不稳定边界循环流量（Gc）。计算中保持流道直径、
$ {L_{\text{H}}} $ 、总高等几何参数不变。图5为系统压力0.2 MPa，加热段入口温度为200℃时，Qc和Gc随LS的变化。从图中可以看出，随着LS的增加，Qc和Gc都逐渐增大，说明流体能够稳定带走更多的热量，稳定性域更为宽广，在给定其他参数时系统所能承受的最大Qc也相对较大。由此可见，LS增加，不仅能够提高自然循环能力，还能增加系统的稳定性，这对于回路的稳定输送更多热量是有利的。
图 5 Qc和Gc不稳定边界随LS的变化Figure 5. Variation of Unstable Boundary between Qc and Gc with LS图6为不同LS下，在Ri-Stm稳定性平面中相应稳定性边界的变化，可见随着LS增加，回路的稳定边界右移，不稳定区域越小，稳定区域越大，即LBE自然循环回路的稳定性增强。
4.2 流道直径的影响
流道直径变化会引起加热段热流密度发生改变，影响加热段进出口温差，从而使浮升力相应变化。同时，流道直径改变也会影响沿程阻力，改变浮升力与阻力之间的相对关系。同样基于时域法，采用FRTAC程序搜索计算不同流道直径（0.1、0.15、0.2 m）下的自然循环Qc和Gc。
图7为不同流道直径下的Qc和Gc计算结果，计算中保持其他热工及尺寸参数保持不变。图7a中，随着流道直径的增加，Qc逐渐降低，系统更容易在较低功率下发生流动不稳定性，使回路维持稳定自然循环流动所能承受的最大不稳定边界加热功率降低，对系统的流动和输传热不利。此外，图7b中Gc随着流道直径的增大并不是单调变化的，原因如下：相同流道直径下Qc改变及相同Qc下流道直径改变总可引起几乎相同的浮升驱动力与循环流动阻力相对变化关系，对于Qc或流量达到失稳点时也不例外，从而使得Gc随Qc的变化与流量随流道直径的变化并不同步，由此导致Gc的变化不单调。
图 7 Qc和Gc随流道直径的变化Figure 7. Variation of Qc and Gc under Different Flow Channel Diameters图8所示为不同流道直径下的Ri-St动态不稳定边界。由图可见，随流道直径增加系统的稳定边界左移，说明稳定区域减小，不稳定区域增大，系统回路的稳定性减弱。可见并非流道直径越大对自然循环越有利，在实际工程应用或堆芯设计时需要综合考虑以合理选择自然循环沿程流道的尺寸。
图 8 不同流道直径下的动态稳定边界Figure 8. Dynamic Stability Boundary under Different Flow Channel Diameters4.3 自然循环LH的影响
LH是影响自然循环的一个重要几何参数，其通过系统驱动力以及回路流动阻力之间相对大小及相互作用来影响自然循环的流动稳定性。但当总LH过大时可能会导致自然循环过程无法形成，因此在系统设计时该参数需要重点考虑。在保证其他几何参数及热力学参数不变的前提下，利用FRTAC程序计算不同LH下的自然循环回路的动态不稳定特性。
计算得到Qc和Gc随
$ {L_{\text{H}}} $ 的变化如图9所示。图中，随着LH增加，Qc和Gc均逐渐减小。即使浮升驱动力随LH增大而增加，有利于增大自然循环流量，但自然循环回路循环流动也越容易失稳。因此，对于LBE自然循环回路的LH选择与设计应予以关注。图10为不同LH对应的动态不稳定边界，随着LH增加左移，即系统越来越不稳定。流动不稳定性发生的根本原因是流体介质在流动过程中浮升力的变化与阻力的变化不平衡，而LH的变化同时对沿程阻力和浮升力产生影响，使回路的浮升力和阻力耗散的不平衡状态更易产生。同时，LH增加，也增加了因加热而膨胀的LBE介质的低密度区，从而整个LBE自然循环回路的不均匀性更强，系统将在更小的功率下出现流动不稳定现象。综上可知，虽然增加自然循环回路的冷热心位差，有利于提升自然循环（稳态）流量，有利于回路的输传热；然而LH的提升，又使得LBE自然循环回路系统的稳定性裕量降低，稳定性减弱，对回路的稳定有效传热不利。
5. 结 论
分析了LBE系统自然循环的流动稳定性，基于自然循环回路控制方程的无量纲化，得到一系列影响自然循环流动传输的重要无量纲数，经论证筛选，确定采用Ri和St判断LBE自然循环流动不稳定性。基于无量纲准则数，分析了回路主要参数对于LBE自然循环流动动态不稳定性特性的影响规律。分析指出，增大回路LS会使系统的稳定性增强，而增大流道直径以及LH均会使系统稳定性裕量降低，稳定性减弱。
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图 2 FRTAC程序中主回路离散化
管段1—加热段；管段2, 3—热段；管段4—冷却段；管段5, 6, 7, 9, 10—冷段；管段8—流量计扁管；管段11—阀门
Figure 2. Main Loop Discretization in FRTAC
图 5 Qc和Gc不稳定边界随LS的变化
Figure 5. Variation of Unstable Boundary between Qc and Gc with LS
图 7 Qc和Gc随流道直径的变化
Figure 7. Variation of Qc and Gc under Different Flow Channel Diameters
图 8 不同流道直径下的动态稳定边界
Figure 8. Dynamic Stability Boundary under Different Flow Channel Diameters
表 1 铅铋自然循环回路参数
Table 1. Parameters of LBE Natural Circulation Loop
参数类型 参数值 主回路工质 LBE（铅44.5%，铋55.5%） 循环类型 自然循环 主管道内径/m 42 LS/m 1.5 冷却段长度/m 1.2 冷热段中心距离/m 3.5 总循环长度/m 13.7 回路循环高度/m 5 运行压力/MPa 1.5 
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