0.   引 言

主泵作为核电机组反应堆关键设备，其稳定性直接影响整个核电厂的运行安全^[1-3]。径向轴承是主泵转子径向运动的主要约束，能够限制转子的横向位移，避免转子运动失衡^[4-5]。而作为动压滑动轴承，轴承间隙对轴承的寿命和主泵的性能有着显著的影响^[6]。轴承间隙过小导致动静摩擦，会使得轴瓦产生严重变形造成转子失稳^[7-8]。因此，需要在主泵运行过程中对轴承间隙进行监测，以避免轴承磨损，提高零部件的使用寿命。俄罗斯百万千瓦级压水堆（VVER）核电机组是我国用于核能商用发电的主要机组之一^[9]。目前VVER核电机组主要依靠俄方提供的加密软件对主泵的下部径向轴承间隙进行估算，但未开放其参数及算法。随着设备老化带来的更新换代需求，有必要开展主泵下部径向轴承间隙计算方法的自研，突破主泵诊断系统国产化瓶颈。

本文首先基于转子动力学理论建立轴承-转子有限元模型，开展轴承-转子系统动力学响应计算。考虑不平衡激励幅值和位置对泵转子径向振动位移的影响，拟合出不同情况下的转子振动位移关系式，并建立转子固定测点与轴承处的转子径向振动位移数值映射关系；然后利用转子固定测点位移监测值计算轴承最小间隙，并开发下部径向轴承间隙预测软件；最后利用实际测量结果对理论计算结果进行验证。

1.   VVER核电机组主泵

VVER核电机组主泵的转子系统绝大部分被泵壳覆盖，无法直接安装传感器进行监测，只能通过仅有的几个固定位置测点的转子径向位移测量值对径向轴承间隙进行间接计算。图1为主泵外观与剖视图，其中下部径向轴承承受转子径向载荷，上部径向止推轴承承受转子轴向载荷和部分径向载荷，转子一端通过扭杆式联轴器连接电机轴，另一端为叶轮。

图  1  VVER核电机组主泵外观与剖视图

Figure  1.  Appearance and Sectional View of VVER Main Pump

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根据转子边界条件对转子系统进行简化，图2为转子系统简化示意图。测点1和测点2处布置了位移传感器以监测转子径向振动位移。

图  2  转子系统简化示意图

x, y—转子径向轴心坐标，即偏离轴心线的振动位移，m。

Figure  2.  Diagram of Simplified Rotor System

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2.   轴承-转子动力学有限元模型

2.1   转子动力学理论

转子旋转会产生陀螺效应，其系统运动微分方程的一般形式为：

式中，$ \boldsymbol{M} $为系统质量矩阵；$ \boldsymbol{B} $为系统阻尼矩阵；$ \boldsymbol{G} $为陀螺效应矩阵；$ \boldsymbol{K} $为系统刚度矩阵；$ \boldsymbol{x} $为系统位移响应向量；$ \boldsymbol{F} $为系统激励力向量；$ t $为运动时间，s。

2.2   径向轴承承载模型

径向轴承作为转子径向支撑件，对转子轴心轨迹等动力特性具有明显的影响。径向轴承承载特性可以通过刚度-阻尼系统进行建模。基于流体动力学理论推导得到滑动轴承动压润滑雷诺方程^[10]：

式中，$ R $为转子半径，m；$ h $为液膜厚度，m；$ \theta $为液膜厚度$ h $处的圆周角，rad；$ P $为液膜压力，Pa；$ \mu $为润滑剂动力黏度，Pa·s；$ {\textit{z}} $为轴向坐标，m；$ \varOmega $为轴颈转速，rad/s。

由于轴瓦材料为石墨类非金属材料，液膜厚度需要进一步考虑轴瓦受力产生的弹性变形：

式中，$ C $为轴承平均间隙，m；$ e $为转子轴线的偏心距，m；$ \phi $为转子轴心偏位角，rad；$ \delta $为轴瓦变形量，m。进一步基于Winkler假设^[11]，获得$ \delta $的理论计算公式为：

式中，$ l $为轴瓦厚度，m；$ v $为轴瓦材料泊松比；$ E $为轴瓦材料弹性模量，Pa。

基于式（2）~式（4）计算得到轴承液膜压力分布后，分别沿X、Y方向进行积分，得到轴承液膜对转子的承载分力$ F_X $和$ F_Y $，其计算式为：

式中，$ L $为轴承长度，m；$ r $为轴承内径，m。

将液膜承载力对扰动位移和速度做泰勒展开，当转子所受外部扰动为微小量时，省略高阶项，保留一阶微量，得到承载分力变化量与位移扰动量和速度扰动量的关系式：

式中，$ \Delta F_X $、$ \Delta F_Y $分别为X和Y方向的承载分力变化量；$ \Delta x $、$ \Delta y $分别为X和Y方向的位移扰动量；$ \Delta \dot{x} $和$ \Delta \dot{y} $分别为X和Y方向的速度扰动量；$ k_{XX} $、$ k_{XY} $、$ k_{YX} $、$ k_{YY} $为轴承承载刚度系数；$ c_{XX} $、$ c_{XY} $、$ c_{YX} $、$ c_{YY} $为轴承润滑阻尼系数。

2.3   轴承-转子有限元模型

根据转轴几何结构和尺寸，基于Timoshenko梁理论采用ANSYS软件参数化设计语言（APDL）对其进行有限元建模，将转子划分为138个单元。主泵转子系统除转轴外存在多个质量不可忽略的固件，例如上部径向止推轴承、下部径向轴承、联轴器和叶轮，将其建模为同质量和转动惯量的盘单元。此外，上部径向止推轴承作为转子轴向支撑，限制转子轴向运动，该节点设置轴向位移约束。联轴器传递转矩和转速，轴心固定，采用简支约束。下部径向轴承设置为刚度-阻尼系统，图3为轴承-转子有限元模型。

图  3  轴承-转子有限元模型

Figure  3.  FEM Model of Bearing-Shaft System

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3.   下部径向轴承间隙计算方法

3.1   转子外部激励分析

VVER核电机组主泵为立式泵，正常情况下转子径向主要承受由制造精度、装配误差等带来的不平衡力。主要包括以下3种。

3.1.1   电机轴不平衡激励

转子通过联轴器连接电机轴，电机轴在运行过程中在材质不均匀、温度场变化等因素影响下会产生质心偏心，并通过联轴器传递至泵转子，因此需要在泵转子联轴器端考虑不平衡激励。

3.1.2   叶轮不平衡激励

转子叶轮作为几何不规则部件，存在质量偏心以及流体不平衡激励，因此需要在转子叶轮处考虑不平衡激励。

3.1.3   转子系统不平衡激励

转子系统也存在制造和装配带来的质心不对中，相较于结构尺寸较大的止推轴承，泵轴自身半径较小，带来的不平衡激励相对较弱，因此主要考虑转轴中部止推轴承处不平衡激励带来的振动影响。

在轴承-转子有限元模型中施加不平衡激励，不平衡激励力计算式为：

式中，$ {F}_{\mathrm{b}} $为不平衡激励力，N；$ {m}_{\text{ε}} $为不平衡质量，kg；$ \varepsilon $为不平衡质量的偏心距，m。

进一步将不平衡激励力分解为沿X、Y方向上的激励分力$ F_{\mathrm{b}X} $和$ F_{\mathrm{b}Y} $，其计算式为：

3.2   轴承间隙计算方法

通过建立的轴承-转子有限元模型，在轴不同位置施加不同幅值的不平衡激励，得到不同激励情况下的转子振动响应，并拟合为转子振动位移曲线，建立转子固定测点与轴承处的转子径向振动位移数值映射关系，进一步利用测点1和测点2传感器监测到的转子径向振动位移，最后获得下部径向轴承间隙。图4为主泵下部径向轴承间隙计算技术路线。

图  4  主泵下部径向轴承间隙计算技术路线

Figure  4.  Calculation of Lower Radial Bearing Clearance of Main Pump

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4.   下部径向轴承间隙计算结果

4.1   不平衡激励位置对转子振动位移的影响

分别在主泵转轴上部、下部和中部施加不平衡激励，计算在不平衡激励下的转子径向位移响应。转子转速为1000 r/min，不平衡质量设置为0.01 kg（根据俄供软件的数据模拟取值），不平衡质量的偏心距设置为0.15 m，不平衡激励力为16.45 N。图5为分别在不同位置处施加不平衡激励下的转子径向振动位移曲线。

图  5  不平衡激励下的转子振动位移曲线

Figure  5.  Rotor Vibration Displacement Curve under Unbalanced Excitation

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由图5可知，转子受到不同位置不平衡激励时，其径向振动位移曲线变化差异较大，但基本呈现三次函数关系。因此，基于MATLAB软件利用三次函数对图5所示不同激励位置下的转子径向振动位移曲线进行拟合：

式中，$ u $为不平衡激励力为16.45 N时的转子径向位移，mm；$ \boldsymbol{L} $为轴向位置的变量向量，m，$\boldsymbol{L}={[{l}^{3},{l}^{2},l,1]}^{\mathrm{T}} $；A为系数向量，$ \boldsymbol{A}=[{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} $]，分3种情况：①不平衡激励来自轴上部联轴器时，$ \boldsymbol{A}=[-\mathrm{0.063,0.54}, - 1.46, 1.38 ] $，拟合残差模长为7.9×10⁻¹⁶；②不平衡激励来自轴下部叶轮时，$ \boldsymbol{A}=[0.018,-0.152, 0.418,-0.252] $，拟合残差模长为1.6×10⁻¹⁶；③不平衡激励来自轴中部止推轴承时，$ \boldsymbol{A}=[-\mathrm{0.02,0.17}, -\mathrm{0.47,0.48}] $，拟合残差模长为2.6×10⁻¹⁶。

4.2   不平衡激励倍数对转子振动位移的影响

针对不平衡激励来自电机联轴器的转子振动位移，以4.1节中不平衡激励力大小为基准，研究了不同激励倍数下转子径向振动位移的变化。图6所示为不同激励倍数下的转子测点1处的转子径向振动位移曲线。

图  6  不同激励倍数下的测点1转子径向振动位移

Figure  6.  Rotor Radial Vibration Displacement at Measurement Point 1 under Different Excitation Multiples

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由图6可知，转子径向振动位移随着不平衡激励倍数的增大而增大。且转子的径向振动位移与不平衡激励倍数几乎呈线性关系，因此在不平衡激励下的转子径向振动位移为：

式中，$ U $为转子径向振动位移，mm；$ k $为径向振动位移与激励幅值间比例因子，与轴向位置和激励位置有关。

4.3   下部径向轴承间隙

通过上述动力学计算，得到了不同位置、不同幅值不平衡激励下的转子系统径向位移，建立起了测点1、测点2与下部径向轴承处的转子径向振动位移数值映射关系为：

式中，$ {U}_{\mathrm{b}} $为下部径向轴承处的转子径向振动位移，mm；$ {U}_{1} $为测点1处的转子径向振动位移，mm；$ {U}_{2} $为测点2处的转子径向振动位移，mm。

进一步得到下部径向轴承的最小间隙$ \sigma $：

式中，$ \sigma $为下部径向轴承最小间隙，mm。

进一步开发了主泵下部径向轴承间隙计算预测软件。利用现场监测到的测点1和测点2处的转子径向振动位移以及俄方软件的轴承间隙预测结果，对本研究所提出的方法和软件进行了验证，表1为轴承间隙计算预测软件的验证结果。

表  1  轴承间隙计算预测软件验证结果

Table  1.  Verification Results of Calculation Software of Bearing Clearance

序 号	转子径向位移/mm				误差
	测点1	测点2	下部径向轴承间隙 预测结果		绝对值/mm	百分比/%
			俄方软件	本研究软件
1	0.055	0.068	0.1275	0.1340	0.0065	5.1
2	0.058	0.066	0.1295	0.1260	0.0035	2.7
3	0.057	0.067	0.1305	0.1295	0.0010	0.8
4	0.063	0.067	0.1345	0.1240	0.0105	7.8
5	0.064	0.150	0.1460	0.1360	0.0100	6.8
6	0.098	0.111	0.1205	0.1175	0.0030	2.5
7	0.098	0.118	0.1215	0.1280	0.0065	5.3
8	0.069	0.151	0.1510	0.1340	0.0170	11.3
9	0.077	0.116	0.1285	0.1260	0.0025	1.9
10	0.065	0.158	0.1470	0.1385	0.0085	5.8
11	0.162	0.081	0.0770	0.0795	0.0025	3.2
12	0.154	0.085	0.0785	0.0755	0.0030	3.8
13	0.169	0.086	0.0800	0.0830	0.0030	3.8
14	0.069	0.147	0.1440	0.1470	0.0030	2.1
15	0.073	0.149	0.1475	0.1555	0.0080	5.4

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根据表1可得，本研究软件与俄方软件得出的下部径向轴承最小间隙计算预测结果之间的误差最大为0.017 mm、11.3%（分别为绝对误差和误差百分比），最小为0.001 mm、0.8%。结果表明，本研究所提出的主泵下部径向轴承间隙计算方法是有效的，能够通过测点数据计算预测出轴承最小间隙。

5.   结 论

本研究建立了某核电机组主泵轴承-转子动力学有限元模型，获得了下部径向轴承间隙计算方法并开发了相关软件，并利用测点实际数据和俄供软件预测结果对本方法和软件计算结果进行了验证，结论如下：

（1）转子在不同位置受到不平衡激励时，其径向振动位移曲线变化差异较大，但基本呈现三次函数关系。

（2）激励位置不变，转子的径向振动位移与不平衡激励倍数几乎呈线性关系。

（3）开发的轴承间隙计算预测软件可以根据不同测点的监测数据计算出下部径向轴承的最小间隙。本软件计算得到的下部径向轴承最小间隙结果与俄供软件预测结果一致性较好，满足工程应用需求。