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基于PINN深度机器学习技术求解多维中子学扩散方程

刘东 罗琦 唐雷 安萍 杨帆

刘东, 罗琦, 唐雷, 安萍, 杨帆. 基于PINN深度机器学习技术求解多维中子学扩散方程[J]. 核动力工程, 2022, 43(2): 1-8. doi: 10.13832/j.jnpe.2022.02.0001
引用本文: 刘东, 罗琦, 唐雷, 安萍, 杨帆. 基于PINN深度机器学习技术求解多维中子学扩散方程[J]. 核动力工程, 2022, 43(2): 1-8. doi: 10.13832/j.jnpe.2022.02.0001
Liu Dong, Luo Qi, Tang Lei, An Ping, Yang Fan. Solving Multi-Dimensional Neutron Diffusion Equation Using Deep Machine Learning Technology Based on PINN Model[J]. Nuclear Power Engineering, 2022, 43(2): 1-8. doi: 10.13832/j.jnpe.2022.02.0001
Citation: Liu Dong, Luo Qi, Tang Lei, An Ping, Yang Fan. Solving Multi-Dimensional Neutron Diffusion Equation Using Deep Machine Learning Technology Based on PINN Model[J]. Nuclear Power Engineering, 2022, 43(2): 1-8. doi: 10.13832/j.jnpe.2022.02.0001

基于PINN深度机器学习技术求解多维中子学扩散方程

doi: 10.13832/j.jnpe.2022.02.0001
基金项目: 第五批国家高层次人才特殊支持计划科技创新领军人才基金项目
详细信息
    作者简介:

    刘 东(1973—),男,博士,研究员,现主要从事核能数值计算、专业软件开发、数值仿真、人工智能应用方面的研究,E-mail: liudong73@yahoo.com

  • 中图分类号: TL334

Solving Multi-Dimensional Neutron Diffusion Equation Using Deep Machine Learning Technology Based on PINN Model

  • 摘要: 阐述了基于物理信息指引的神经网络模型(PINN),构造深度神经网络作为试函数,将其代入中子学扩散方程形成残差,并作为机器学习的加权损失函数,进而通过深度机器学习技术逼近中子学扩散方程数值解;针对扩散方程的特点,提出了特征值方程加速收敛方法、有效增殖系数( keff)高效并行搜索技术、学习样本网格点不均匀分布策略等创新性关键技术,并对神经网络深度、神经元数量、边界条件损失函数权重等关键参数进行了敏感性分析。验证计算结果表明,该方法具有良好的精度,提出的关键技术具有显著的成效,为中子学扩散方程的数值求解探索出了新的技术途径。

     

  • 图  1  keff并行搜索流程图

    kmaxkmin—选取范围的最大值和最小值

    Figure  1.  Flow Chart of keff Parallel Search

    图  2  式(2)验证结果图(轴侧视角)

    Figure  2.  Verification Result of Equation (2) (Axial View)

    图  3  keff搜索散点图(沿X方向正视图)

    Figure  3.  keff Search Scatter Diagram (Front View Along X Direction)      

    图  4  边界条件损失函数权重敏感性分析

    Figure  4.  Sensitivity Analysis of Weight of Doundary Condition Loss Function

    表  1  临界条件下稳态扩散方程计算结果

    Table  1.   Calculation Results of Steady-state Diffusion Equation under Critical Conditions

    类型网格点
    i
    学习次
    数(n
    几何参
    数/m
    σMSE,1σSEi,maxσMSE,mc
    平板9003500a=11.4850×10−94.9266×10−94.8897×10−6
    20003500R=13.4875×10−101.9138×10−96.5248×10−6
    圆柱90005000R=1,H=24.5593×10−64.1536×10−51.3897×10−5
    方形90005000a=1,b=1,c=16.2277×10−57.0309×10−45.2182×10−5
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    表  2  神经网络初始值敏感性分析结果

    Table  2.   Sensitivity Analysis Results of Iinitial Value of Neural Network

    算例网络初始
    值/C0
    目标C
    设定
    σMSE,1/10−8学习次
    数(n
    学习完成
    C
    1随机/随机9.999824050.015
    2随机/随机9.109516060.0022
    3随机/随机0.59.61243790.4995
    4已训练/C0=0.010.59.10102110.4996
    5已训练/C0=0.050.59.3309550.4996
    6已训练/C0=0.10.59.5475390.4995
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    表  3  临界条件下稳态扩散方程数值解N($ \vec x $)误差分布

    Table  3.   Error Distribution of Numerical Solution of Steady-State Diffusion Equation under Critical Conditions N($ \vec x $)

    算例k初始条件σMSE,1
    11.0041cos(π·x/a)−0.4cos(2π·x/a)−0.43.8005×10−7
    21.0001cos(π·x/a)−0.4cos(2π·x/a)−0.46.3758×10−7
    31.00410.5[cos(2π·x/a)+1]1.5564×10−6
    41.00010.5[cos(2π·x/a)+1]1.2230×10−6
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    表  4  keff搜索计算结果误差

    Table  4.   Error of keff Search Calculation Results

    算例算例5算例6
    k1.004101.00010
    keff1.002020.99803
    初始条件cos(π·x/a)−0.4cos
    (2π·x/a)−0.4
    0.5cos(2π·x/a)+0.5
    σMSE,a8.9108×10−74.4229×10−6
    σMSE,b3.8236×10−61.8132×10−5
    σMSE,c3.6584×10−78.9051×10−6
      σMSE,aN(x,t)在全域{D|−0.5≤x≤0.5,0≤t≤0.015}计算结果与解析解式(10)的均方差;σMSE,bN(x,0.015)在{x|−0.5≤x≤0.5}上与解析解式(10)的均方差;σMSE,cN(x,0.015)在{x|−0.5≤x≤0.5}上与平板解析解的均方差
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    表  5  网格点分布敏感性分析结果

    Table  5.   Sensitivity Analysis Results of Grid Point Distribution

    算例网格点分布σMSE,1
    1D=D0,card(D0)=20005.1604×10−6
    2D= D0DC1,card(D0)=1500,
    card(DC1)=500
    2.8265×10−6
    3D=D0DC2,card(D0)=1500,
    card(DC2)=500
    1.2731×10−6
    4D=D0DC2DB1DB2
    card(D0)=1000,card(DC2)=500,
    card(DB1)=250,card(DB2)=250
    8.4288×10−7
      card—范围内的网格点数目
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    表  6  神经网络深度敏感性分析结果

    Table  6.   Sensitivity Analysis Results of Neural Network Depth     

    算例lσMSE,1
    131.9791×10−8
    251.1187×10−8
    392.6775×10−9
    4162.1024×10−9
    5321.6828×10−9
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    表  7  隐藏神经元数量敏感性分析结果

    Table  7.   Sensitivity Analysis Results of Number of Hidden Neurons

    算例sσMSE,1
    153.6171×10−6
    2102.874×10−7
    3201.1187×10−8
    4501.0632×10−8
    51001.1001×10−8
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    表  8  不同边界条件损失函数权重训练结果

    Table  8.   Weight Training Results of Loss Function under Different Boundary Conditions

    Pb训练次数n
    σMSE,1=5×10−8σMSE,1 =10−7σMSE,1 =10−6σMSE,1 =10−5
    1827621185115
    5225736712950
    1024313847139
    503052497347
    1002381647946
    2007522668853
    3004972248658
    4004422458764
    5002452189070
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  • [1] 谢仲生, 曹良志, 张少泓. 核反应堆物理分析[M]. 第五版. 西安: 西安交通大学出版社, 2020: 69-90.
    [2] 曹良志, 谢仲生, 李云召. 近代核反应堆物理分析[M]. 北京: 中国原子能出版社, 2017: 8-209.
    [3] 周蜀林. 偏微分方程[M]. 北京: 北京大学出版社, 2005: 1-16.
    [4] 张强. 偏微分方程的有限差分方法[M]. 北京: 科学出版社, 2017: 77-114.
    [5] 李治平. 偏微分方程数值解讲义[M]. 北京: 北京大学出版社, 2010: 202-282.
    [6] GALIB S M, BHOWMIK P K, AVACHAT A V, et al. A comparative study of machine learning methods for automated identification of radioisotopes using NaI gamma-ray spectra[J]. Nuclear Engineering and Technology, 2021, 53(12): 4072-4079. doi: 10.1016/j.net.2021.06.020
    [7] VAN MILLIGEN B P, TRIBALDOS V, JIMÉNEZ J A. Neural network differential equation and plasma equilibrium solver[J]. Physical Review Letters, 1995, 75(20): 3594-3597. doi: 10.1103/PhysRevLett.75.3594
    [8] MAI-DUY N, TRAN-CONG T. Numerical solution of differential equations using multiquadric radial basis function networks[J]. Neural Networks, 2001, 14(2): 185-199. doi: 10.1016/S0893-6080(00)00095-2
    [9] MAI-DUY N, TANNER R I. Solving high-order partial differential equations with indirect radial basis function networks[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005, 63(11): 1636-1654. doi: 10.1002/nme.1332
    [10] MALL S, CHAKRAVERTY S. Single layer chebyshev neural network model for solving elliptic partial differential equations[J]. Neural Processing Letters, 2017, 45(3): 825-840. doi: 10.1007/s11063-016-9551-9
    [11] XIE Y C, WANG Y H, MA Y, et al. Neural network based deep learning method for multi-dimensional neutron diffusion problems with novel treatment to boundary[J]. Journal of Nuclear Engineering, 2021, 2(4): 533-552. doi: 10.3390/jne2040036
    [12] RAISSI M, PERDIKARIS P, KARNIADAKIS G E. Physics-informed neural networks: a deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations[J]. Journal of Computational Physics, 2019, 378: 686-707. doi: 10.1016/j.jcp.2018.10.045
    [13] 刘宪高. 变分法与偏微分方程[M]. 北京: 科学出版社, 2016: 45-122.
    [14] HAGAN M T, DEMUTH H B, BEALE M H, et al. Neural network design[M]. ZHANG Y, trans. 2nd ed. Beijing: China Machine Press, 2018: 1-25.
    [15] 杨强, 张宇, 戴文渊, 等. 迁移学习[M]. 庄福振, 译. 北京: 机械工业出版社, 2020: 2-79.
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-12-07
  • 录用日期:  2022-02-14
  • 修回日期:  2022-01-26
  • 刊出日期:  2022-04-02

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